Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa to prawdopodobnie najpopularniejsze twierdzenie w matematyce. Dotyczy trójkątów prostokątnych:
Spójrzmy na rysunek:
Niektórzy przyzwyczajają się, że zawsze a^{2} + b^{2} = c^{2} i nawet jeśli w zadaniu mają jako c oznaczoną przyprostokątną, to zapisują twierdzenie Pitagorasa w postaci a^{2} + b^{2} = c^{2}. No i wychodzą głupoty. Oczywiście można zapamiętać ten wzór, ale z dodatkową informacją, że c oznacza przeciwprostokątną.
Twierdzenie Pitagorasa umożliwia nam najczęściej obliczenie długości trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, przy danych długościach dwóch pozostałych boków.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
Nie zawsze twierdzenia odwrotne są prawdziwe, ale w tym przypadku tak jest. Możemy sformułować twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:
Przeciwprostokątną w tym trójkącie jest wtedy najdłuższy bok.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa umożliwia nam ocenę czy trójkąt o zadanych bokach jest trójkątem prostokątnym.
Przykład. Sprawdź czy trójkąt zbudowany z boków długości 4\sqrt{2}, 7, 9 jest prostokątny.
Obliczamy kwadrat długości najdłuższego boku:
9^{2} = 81
Teraz suma kwadratów długości pozostałych dwóch boków:
(4\sqrt{2})^{2} + 7^{2} = 16\cdot2 + 49 = 32 + 49 = 81
Wielkości są sobie równe, zatem trójkąt jest prostokątny i bok długości 9 jest w nim przeciwprostokątna.
Przykład. Sprawdź czy trójkąt zbudowany z boków długości 5\sqrt{2}, 3\sqrt{3}, 4 jest prostokątny.
Obliczamy kwadrat długości najdłuższego boku:
(5\sqrt{2})^{2} = 25\cdot2= 50
Teraz suma kwadratów długości pozostałych dwóch boków:
(3\sqrt{3})^{2} + 4^{2} = 9\cdot3 + 16 = 27 + 16 = 43
Wielkości nie są sobie równe, zatem trójkąt nie jest prostokątny.