Twierdzenie Pitagorasa

7. Planimetria.

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa to prawdopodobnie najpopularniejsze twierdzenie w matematyce. Dotyczy trójkątów prostokątnych:

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Spójrzmy na rysunek:

A

B

C

a

b

c

twierdzenie Pitagorasa:

a^{2} + b^{2} =\

c^{2}

Niektórzy przyzwyczajają się, że zawsze $a^{2} + b^{2} =\$ $c^{2}$ i nawet jeśli w zadaniu mają jako $c$ oznaczoną przyprostokątną, to zapisują twierdzenie Pitagorasa w postaci $a^{2} + b^{2} =\$ $c^{2}$ . No i wychodzą głupoty. Oczywiście można zapamiętać ten wzór, ale z dodatkową informacją, że $c$ oznacza przeciwprostokątną.

Twierdzenie Pitagorasa umożliwia nam najczęściej obliczenie długości trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, przy danych długościach dwóch pozostałych boków.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Nie zawsze twierdzenia odwrotne są prawdziwe, ale w tym przypadku tak jest. Możemy sformułować twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt ten jest prostokątny.

Przeciwprostokątną w tym trójkącie jest wtedy najdłuższy bok.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa umożliwia nam ocenę czy trójkąt o zadanych bokach jest trójkątem prostokątnym.

Przykład. Sprawdź czy trójkąt zbudowany z boków długości $4\sqrt{2}$ , $7$ , $9$ jest prostokątny.

Obliczamy kwadrat długości najdłuższego boku:

$9^{2} =\$ $81$

Teraz suma kwadratów długości pozostałych dwóch boków:

$(4\sqrt{2})^{2} + 7^{2} =\$ $16\cdot2 + 49 =\$ $32 + 49 =\$ $81$

Wielkości są sobie równe, zatem trójkąt jest prostokątny i bok długości $9$ jest w nim przeciwprostokątna.

Przykład. Sprawdź czy trójkąt zbudowany z boków długości $5\sqrt{2}$ , $3\sqrt{3}$ , $4$ jest prostokątny.

Obliczamy kwadrat długości najdłuższego boku:

$(5\sqrt{2})^{2} =\$ $25\cdot2=\$ $50$

Teraz suma kwadratów długości pozostałych dwóch boków:

$(3\sqrt{3})^{2} + 4^{2} =\$ $9\cdot3 + 16 =\$ $27 + 16 =\$ $43$

Wielkości nie są sobie równe, zatem trójkąt nie jest prostokątny.