0% przygotowania do matury

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa to prawdopodobnie najpopularniejsze twierdzenie w matematyce. Dotyczy trójkątów prostokątnych:

W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.

Zatem, na rysunku:

A
B
C
a
b
c
twierdzenie Pitagorasa: c^{2} = a^{2} + b^{2}

Niektórzy przyzwyczajają się, że zawsze c^{2} = a^{2} + b^{2} i nawet jeśli w zadaniu mają jako c oznaczoną przyprostokątną, to zapisują twierdzenie Pitagorasa w postaci c^{2} = a^{2} + b^{2}. No i wychodzą głupoty. Oczywiście można zapamiętać ten wzór, ale z dodatkową informacją, że c oznacza przeciwprostokątną.

Twierdzenie Pitagorasa umożliwia nam najczęściej obliczenie długości trzeciego boku w trójkącie prostokątnym, przy danych długościach dwóch pozostałych boków.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Nie zawsze twierdzenia odwrotne są prawdziwe, ale w tym przypadku tak jest. Możemy sformułować twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie kwadrat długości najdłuższego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, to trójkąt jest prostokątny.

Przeciwprostokątną w tym trójkącie jest wtedy najdłuższy bok.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa umożliwia nam ocenę czy trójkąt o zadanych bokach jest trójkątem prostokątnym.

Zadanie. Sprawdź czy trójkąt zbudowany z boków długości 4\sqrt{2}, 7, 9 jest prostokątny.

Obliczamy kwadrat długości najdłuższego boku:

9^{2} = 81

Teraz suma kwadratów długości pozostałych dwóch boków:

(4\sqrt{2})^{2} + 7^{2} = 16\cdot2 + 49 = 32 + 49 = 81

Wielkości są sobie równe, zatem trójkąt jest prostokątny i bok długości 9 jest w nim przeciwprostokątna.

Zadanie. Sprawdź czy trójkąt zbudowany z boków długości 5\sqrt{2}, 3\sqrt{3}, 4 jest prostokątny.

Obliczamy kwadrat długości najdłuższego boku:

(5\sqrt{2})^{2} = 25\cdot2= 50

Teraz suma kwadratów długości pozostałych dwóch boków:

(3\sqrt{3})^{2} + 4^{2} = 9\cdot3 + 16 = 27 + 16 = 43

Wielkości nie są sobie równe, zatem trójkąt nie jest prostokątny.