0% przygotowania do matury

Układ równań liniowych sprzeczny – przykład

Zadanie. Rozwiąż układ: \begin{cases} -2x + 2y = 5 \\ -2y + 2x = -1 \end{cases}.

Spróbujmy go rozwiązać metodą przez podstawienie. Z drugiego rówania wyliczamy x i podstawiamy pod pierwsze równanie:

\begin{cases} -2x + 2y = 5 \\ 2x = -1 + 2y \hspace{4mm}|:2\end{cases}

\begin{cases} -2x + 2y = 5 \\ x = -\frac{1}{2} + y\end{cases}

\begin{cases} -2\cdot(-\frac{1}{2} + y) + 2y = 5 \\ x = -\frac{1}{2} + y\end{cases}

Rozwiązujemy pierwsze równanie:

-2\cdot(-\frac{1}{2} + y) + 2y = 5

1 - 2y + 2y = 5

1 = 5

Otrzymaliśmy sprzeczność: y się skróciło i zostało nam 1 = 5, co nie jest prawdą. Jeśli otrzymujemy w rozwiązywaniu równań sprzeczność to znaczy, że niezależnie od wartości niewiadomej równanie nie zachodzi, co zapisujemy:

y \in \emptyset

Nie ma potrzeby szukać x gdyż nie znaleźliśmy żadnej wartości y. Kończymy rozwiązywanie zapisując:

\begin{cases} x \in \emptyset \\ y \in \emptyset\end{cases}

Układ ten jest układem równań sprzecznym.

Przekształćmy obydwa równania do postaci kierunkowej i narysujmy je w układzie współrzędnych:

\begin{cases} -2x + 2y = 5 \\ -2y + 2x = -1 \end{cases}

\begin{cases} 2y = 5 + 2x\hspace{4mm}|:2 \\ -2y = -1 - 2x\hspace{4mm}|:(-2) \end{cases}

\begin{cases} y = \frac{5}{2} + x \\ y = \frac{-1}{-2} - \frac{2x}{-2} \end{cases}

\begin{cases} y = x + \frac{5}{2} \\ y = x + \frac{1}{2} \end{cases}

rozwiązanie graficzne sprzecznego układu równań liniowych \begin{cases} -2x + 2y = 5 \\ -2y + 2x = -1 \end{cases}

Na wykresie obydwie proste są równoległe i nie pokrywają się (nie mają punktów wspólnych).