Układ równań nieliniowych
Nie zawsze równania tworzące układ równań są liniowe. Taki układ równań nazywamy wtedy układem równań nieliniowych. Przykładowym układem równań nieliniowych jest:
\begin{cases} x + y = 14 \\ xy = 48 \end{cases}
Równanie xy = 48 jest nieliniowe. Jego wykresem nie jest prosta.
Układy równań nieliniowych rozwiązujemy przeważnie metodą podstawiania. Jeśli dysponujemy równaniem liniowym, to zawsze jedną z niewiadomych wyliczajmy właśnie z niego. Można ją także wyznaczyć z równania nieliniowego, ale może to prowadzić do założeń (np. x \ne 0, a zatem i dodatkowych późniejszych obliczeń dla x = 0, o ile dopuszczamy taką wartość x), które spowalniają otrzymanie ostatecznego wyniku. Nieraz jednak nie mamy innego wyjścia, bo mamy dwa równania nieliniowe.
Przykład. Rozwiąż układ: \begin{cases} x + y = 14 \\ xy = 48 \end{cases}.
Wyznaczymy niewiadomą x z pierwszego równania (które jest liniowe) i podstawimy do drugiego równania:
\begin{cases} x + y = 14 \\ xy = 48 \end{cases}
\begin{cases} x = 14 - y \\ (14 - y)y = 48 \end{cases}
\begin{cases} x = 14 - y \\ 14y - y^{2} = 48 \end{cases}
Drugie równanie po podstawieniu x i wymnożeniu okazuje się być równaniem kwadratowym, które rozwiązujemy obliczając deltę:
- y^{2} + 14y - 48 = 0
\Delta = b^{2} - 4ac = 14^{2} - 4\cdot (-1) \cdot (-48) = 196 - 192 = 4
\Delta > 0, zatem mamy dwa rozwiązania:
y_{1} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-14-\sqrt{4}}{2\cdot (-1)} = \frac{-14-2}{-2} = \frac{-16}{-2} = 8
y_{2} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-14+\sqrt{4}}{2\cdot (-1)} = \frac{-14+2}{-2} = \frac{-12}{-2} = 6
Z pierwszego równania wyznaczamy x zarówno dla y_{1} jak i dla y_{2}:
x_{1} = 14 - y_{1} = 14 - 8 = 6
x_{2} = 14 - y_{2} = 14 - 6 = 8
Czyli otrzymaliśmy dwa rozwiązania układu równań:
\begin{cases} x = 6 \\ y = 8 \end{cases}\quad \vee\quad \begin{cases} x = 8 \\ y = 6 \end{cases}
Jak widzimy, w układach równań nieliniowych nie musi obowiązywać zasada znana z układów równań liniowych, że układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań albo nie ma rozwiązań. Tutaj mogą się pojawić różne liczby rozwiązań, w zależności od równań nieliniowych z jakimi mamy do czynienia.
W naszym przykładzie po podstawieniu otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Dlatego liczba rozwiązań układu zależy od liczby rozwiązań tego równania kwadratowego:
- gdyby \Delta = 0, to mielibyśmy tylko jedno rozwiązanie y, a zatem i jedno rozwiązanie x, czyli układ miałby dokładnie jedno rozwiązanie
- gdyby \Delta < 0, to nie mielibyśmy żadnego rozwiązania y, a co za tym idzie żadnego rozwiązania x, czyli układ nie miałby rozwiązań
W innych układach równań nieliniowych mogą występować także inne liczby rozwiązań.