0% przygotowania do matury

Ułamek dziesiętny

Ułamek dziesiętny złożony jest z części całkowitej i części ułamkowej, które są przedzielone przecinkiem (tzw. przecinkiem dziesiętnym). Pierwsze miejsce po przecinku oznacza część dziesiątą, drugie – część setną, trzecie – część tysięczną, czwarte – część dziesięciotysięczną i tak dalej.

0{,}453 jest ułamkiem dziesiętnym: 0 to część całkowita, zaś 453 to część ułamkowa (\frac{453}{1000}). Czytamy go: "zero i czterysta pięćdziesiąt trzy tysięczne". 87{,}46 też jest ułamkiem dziesięnym: 87 to część całkowita, zaś 46 to część ułamkowa (\frac{46}{100}). Czytamy go: "osiemdziesiąt siedem i czterdzieści sześć setnych".

Zapis liczby w postaci ułamka dziesiętnego nazywamy jej rozwinięciem dziesiętnym.

Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły

Jeśli mamy skończone rozwinięcie dziesiętne liczby i chcemy uzyskać odpowiadający jej ułamek zwykły, to wystarczy przeczytać tę liczbę i zapisać w ułamku to, co przeczytaliśmy. Na przykład 6{,}823 to "sześć i osiemset dwadzieścia trzy tysięczne", co zapisujemy w postaci ułamka zwykłego: 6\frac{823}{1000}.

Jeśli natomiast mamy okresowe nieskończone rozwinięcie dziesiętne liczby i chcemy uzyskać odpowiadający jej ułamek zwykły, to należy się posłużyć poniższym sposobem:

Zadanie. Zamień 7{,}(68) na ułamek zwykły.

Niech:

x = 7{,}(68)

Teraz przemnażamy obydwie strony równania przez taką wielokrotność 10, aby przecinek przy ułamku dziesiętnym przesunął się o tyle miejsc w prawo ile jest cyfr w okresie. W naszym przykładzie chodzi nam o przesunięcie przecinka o 2 miejsca w prawo, zatem mnożymy przez 100:

x = 7{,}(68)\hspace{4mm}|\cdot 100

100x = 768{,}(68)\hspace{4mm} (bo 7{,}(68)\cdot 100 = 7{,}68686868\ldots\cdot 100 = 768{,}686868\ldots = 768{,}(68))

Teraz odejmujemy x od obydwu stron równania (tylko wtedy okresy nam się odejmą):

100x - x = 768{,}(68) - x

99x = 768{,}(68) - 7{,}(68)

99x = 761\hspace{4mm}|:99

x = \frac{761}{99}

Zawsze warto sprawdzić na kalkulatorze czy wynik się zgadza: \frac{761}{99} = 7{,}(68)?

Zadanie. Zamień liczbę 0{,}9(5) na ułamek zwykły.

x = 0{,}9(5)

Teraz jednak potrzebne jest dodatkowe przemnożenie tego równania przez wielokrotność 10, gdyż zawsze musimy mieć taką postać, że przecinek jest bezpośrednio przed okresem. Tutaj musimy wymnożyć obydwie strony równania przez 10:

x = 0{,}9(5)\hspace{4mm}|\cdot 10

10x = 9{,}(5)

Teraz dopiero postępujemy podobnie jak w popoprzednim zadaniu. Mnożymy obydwie strony przez 10, gdyż okres obejmuje jedną cyfrę:

10x = 9{,}(5)\hspace{4mm}|\cdot 10

100x = 95{,}(5)

Teraz odejmujemy od obydwu stron równania 10x (tylko wtedy okresy nam się odejmą):

100x - 10x = 95{,}(5) - 10x

90x = 95{,}(5) - 9{,}(5)

90x = 86\hspace{4mm}|:90

x = \frac{86}{90}

Ciekawostka: 0{,}(9) = 1. Dziwne, ale tak jest. Te dwie liczby są sobie równe. Podobnie:

1{,}(9) = 2

2{,}(9) = 3

-0{,}(9) = -1

I tak dalej. Sprawdź.