Usuwanie niewymierności z mianownika
Pojęcie "niewymierność w mianowniku" oznacza sytuację, gdy w mianowniku ułamka występuje pierwiastek będący liczbą niewymierną, np. \sqrt{2}, \sqrt{3}. W matematyce przyjęło się, że niewymierność z mianownika należy usuwać.
Niewymierność usuwamy z mianownika na dwa sposoby:
1. Jeśli w mianowniku znajduje się sam pierwiastek lub wyrażenie zawierające pierwiastek jako czynnik, to licznik i mianownik mnożymy przez ten pierwiastek.
Przykład.
\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
\frac{5x}{4\sqrt{2}} = \frac{5x\cdot \sqrt{2}}{4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}x}{8}
2. Jeśli w mianowniku występuje suma lub różnica zawierająca pierwiastek, to licznik i mianownik mnożymy przez wyrażenie podobne do mianownika, ale ze zmienionym znakiem. Robimy to po to, aby w mianowniku móc zastosować wzór skróconego mnożenia (różnica kwadratów):
(a+b)\cdot(a-b) = a^{2}-b^{2}\hspace{4mm} (kolejność czynników nie ma znaczenia)
Czyli:
- jeśli w mianowniku jest suma, używamy różnicy
- jeśli w mianowniku jest różnica, używamy sumy
Przykład.
\frac{3}{2 + \sqrt{3}} = \frac{3\cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})\cdot (2 - \sqrt{3})} = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{2^{2} - (\sqrt{3})^{2}} = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{1} = 6 - 3\sqrt{3}
\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\cdot (2\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(2\sqrt{5} - \sqrt{3})\cdot (2\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{5} + \sqrt{2}\sqrt{3}}{(2\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{3})^{2}} = \frac{2\sqrt{10} + \sqrt{6}}{4\cdot 5 - 3} = \frac{2\sqrt{10} + \sqrt{6}}{20 - 3} = \frac{2\sqrt{10} + \sqrt{6}}{17}