0% przygotowania do matury

Usuwanie niewymierności z mianownika

Pojęcie "niewymierność w mianowniku" odnosi się do sytuacji, gdy mamy w mianowniku pierwiastek, który jest liczbą niewymierną, np: \sqrt{2}, \sqrt{3}. W matematyce przyjęło się, że jeśli taka niewymierność występuje w mianowniku ułamka, to należy ją usunąć.

Niewymierność usuwamy z mianownika na dwa sposoby:

1. Jeśli w mianowniku mamy tylko pierwiastek lub pierwiastek przemnożony przez jakieś wyrażenie, to wystarczy licznik i mianownik przemnożyć przez ten pierwiastek:

\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}

\frac{5x}{4\sqrt{2}} = \frac{5x\cdot \sqrt{2}}{4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}x}{8}

2. Jeśli w mianowniku mamy sumę lub różnicę zawierającą pierwiastek, to licznik i mianownik przemnażamy przez mianownik, ale ze zmienionym znakiem działania (tzn. jeśli mamy sumę, to przemnażamy przez różnicę, a jeśli mamy różnicę, to przemnażamy przez sumę):

\frac{3}{2 + \sqrt{3}} = \frac{3\cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})\cdot (2 - \sqrt{3})} = ...

W tym momencie możemy w mianowniku zastosować wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

...\ = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{2^{2} - (\sqrt{3})^{2}} = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{6 - 3\sqrt{3}}{1} = 6 - 3\sqrt{3}

Inny przykład:

\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\cdot (2\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(2\sqrt{5} + \sqrt{3})\cdot (2\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{5} - \sqrt{2}\sqrt{3}}{(2\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{3})^{2}} = \frac{2\sqrt{10} - \sqrt{6}}{4\cdot 5 - 3} = \frac{2\sqrt{10} - \sqrt{6}}{20 - 3} = \frac{2\sqrt{10} - \sqrt{6}}{17}