Warunek na prostopadłość prostych opisanych równaniami kierunkowymi:
Zatem:
Często mamy do wyznaczenia prostą prostopadłą do prostej o podanym równaniu. Musimy wtedy obliczyć współczynnik kierunkowy szukanej prostej (tak aby była prostopadła), a następnie ustalić wartość wyrazu wolnego b.
Zadanie. Znajdź równanie prostej k prostopadłej do prostej l\colon\ y = -\frac{1}{2}x + 1 i przechodzącej przez punkt (2,1).
Obydwie proste mają być prostopadłe (k\perp l), zatem współczynnik kierunkowy a prostej k musi spełniać zależność: a\cdot (-\frac{1}{2}) = -1, gdzie -\frac{1}{2} to współczynnik kierunkowy prostej l\colon\ y = -\frac{1}{2}x + 1.
Obliczamy a:
a\cdot (-\frac{1}{2}) = -1\hspace{4mm}|:(-\frac{1}{2})
a = -1:(-\frac{1}{2}) = -1\cdot (-\frac{2}{1}) = 2
Mamy współczynnik kierunkowy a = 2 prostej k:
k\colon\ y = 2x + b
Nie mamy jeszcze wyrazu wolnego b, ale wiemy, że prosta k przechodzi przez punkt (2,1). Zatem współrzędne tego punktu spełniają równanie tej prostej:
1 = 2\cdot 2 + b\hspace{4mm} (za y podstawiliśmy 1, za x podstawiliśmy 2)
Obliczamy wartość b:
1 = 4 + b
b = -3
Zatem: k\colon\ y=2x-3.
Przekształćmy nieco zależność na prostopadłość prostych:
a_{1}\cdot a_{2} = -1\hspace{4mm}|:a_{1}
a_{2} = \frac{-1}{a_{1}} = -\frac{1}{a_{1}}
Oznacza to, że aby obliczyć współczynnik kierunkowy a_{2} nie musimy rozwiązywać zależności a_{1}\cdot a_{2} = -1. Możemy obliczyć liczbę odwrotną do współczynnika kierunkowego a_{1}, a następnie przeciwną do uzyskanej liczby. Zobaczmy jak to działa w praktyce: