Warunek na prostopadłość prostych

8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej

Warunek na prostopadłość prostych

Warunek na prostopadłość prostych opisanych równaniami kierunkowymi:

Dwie proste o równaniach kierunkowych: y = a_{1}x+b_{1} i y = a_{2}x+b_{2} są prostopadłe jeśli a_{1}\cdot a_{2} = -1.

Zatem:

proste y = 2x + 3 i y = -\frac{1}{2}x są prostopadłe, gdyż 2\cdot (-\frac{1}{2}) = -1,
proste y = x i y = -x + \frac{1}{2} są prostopadłe, gdyż 1\cdot (-1) = -1,
proste y = -5x + 1 i y = \frac{1}{5}x - 5 są prostopadłe, gdyż -5\cdot\frac{1}{5} = -1.

Często mamy do wyznaczenia prostą prostopadłą do prostej o podanym równaniu. Musimy wtedy obliczyć współczynnik kierunkowy szukanej prostej (tak aby była prostopadła), a następnie ustalić wartość wyrazu wolnego b.

Zadanie. Znajdź równanie prostej k prostopadłej do prostej l\colon\ y = -\frac{1}{2}x + 1 i przechodzącej przez punkt (2,1).

Obydwie proste mają być prostopadłe (k\perp l), zatem współczynnik kierunkowy a prostej k musi spełniać zależność: a\cdot (-\frac{1}{2}) = -1, gdzie -\frac{1}{2} to współczynnik kierunkowy prostej l\colon\ y = -\frac{1}{2}x + 1.

Obliczamy a:

a\cdot (-\frac{1}{2}) = -1\hspace{4mm}|:(-\frac{1}{2})

a = -1:(-\frac{1}{2}) = -1\cdot (-\frac{2}{1}) = 2

Mamy współczynnik kierunkowy a = 2 prostej k:

k\colon\ y = 2x + b

Nie mamy jeszcze wyrazu wolnego b, ale wiemy, że prosta k przechodzi przez punkt (2,1). Zatem współrzędne tego punktu spełniają równanie tej prostej:

1 = 2\cdot 2 + b\hspace{4mm} (za y podstawiliśmy 1, za x podstawiliśmy 2)

Obliczamy wartość b:

1 = 4 + b

b = -3

Zatem: k\colon\ y=2x-3.

wykresy prostych l\colon\ y = -\frac{1}{2}x + 1 i k\colon\ y=2x-3 (k\perp l)

Szybszy sposób na prostopadłość prostych

Przekształćmy nieco zależność na prostopadłość prostych:

a_{1}\cdot a_{2} = -1\hspace{4mm}|:a_{1}

a_{2} = \frac{-1}{a_{1}} = -\frac{1}{a_{1}}

Oznacza to, że aby obliczyć współczynnik kierunkowy a_{2} nie musimy rozwiązywać zależności a_{1}\cdot a_{2} = -1. Możemy obliczyć liczbę odwrotną do współczynnika kierunkowego a_{1}, a następnie przeciwną do uzyskanej liczby. Zobaczmy jak to działa w praktyce:

jeśli a_{1} = 3, to liczbą odwrotną do liczby 3 jest liczba \frac{1}{3}, zaś liczbą przeciwną do uzyskanej \frac{1}{3} jest -\frac{1}{3}, czyli a_{2} = -\frac{1}{3},
jeśli a_{1} = -\frac{1}{2}, to liczbą odwrotną do liczby -\frac{1}{2} jest liczba -2, zaś liczbą przeciwną do uzyskanej -2 jest 2, czyli a_{2} = 2,
jeśli a_{1} = 1, to liczbą odwrotną do liczby 1 jest liczba \frac{1}{1} = 1, zaś liczbą przeciwną do uzyskanej 1 jest -1, czyli a_{2} = -1.