Wielomian

2. Wyrażenia algebraiczne.

Wielomian to funkcja. Wielomiany w odróżnieniu od zwykłych funkcji przyjęło się oznaczać dużymi literami, np. $W$ , $P$ , $Q$ . Przykładowym wielomianem jest funkcja $W(x) =\$ $3x^{3}+4x+2$ . Jest to wielomian trzeciego stopnia, gdyż najwyższą potęgą $x$ jest $3$ . Inny wielomian to np. $P(x) =\$ $x^{4} - x^{3} + 2x^{2} - x + 4$ . $P$ jest wielomianem czwartego stopnia (nie ma wyższej potęgi $x$ niż $4$ ). Jeszcze inne wielomiany: $Q(x) =\$ $5$ i $G(x) =\$ $x + 1$ to wielomiany odpowiednio zerowego stopnia ( $x$ w ogóle nie występuje) oraz pierwszego stopnia (najwyższą potęgą $x$ jest $1$ , bo $x =\$ $x^{1}$ ). Ogólnie:

Wielomianem $n$ -tego stopnia nazywamy każdą funkcję postaci:

W(x) =\

a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_{1}x + a_{0}

, gdzie

a_{n} \ne 0

Dziedzina wielomianu to: $D =\$ $\mathbb{R}$ .

Liczby rzeczywiste $a_{n}$ , $a_{n-1}$ , ..., $a_{1}$ , $a_{0}$ nazywamy współczynnikami wielomianu. Dodatkowo: współczynnik $a_{n}$ nazywamy najstarszym współczynnikiem wielomianu, zaś współczynnik $a_{0}$ nazywamy wyrazem wolnym.

Warto zauważyć, że wielomiany drugiego stopnia, zwane też trójmianami kwadratowymi, to funkcje kwadratowe, np. $Q(x) =\$ $x^{2}+3x-2$ , zaś wielomiany pierwszego lub zerowego stopnia to funkcje liniowe, np: $W(x) =\$ $x + 6$ , $G(x) =\$ $4$ . Wielomiany zerowego stopnia takie jak wielomian $G$ to funkcje liniowe stałe.

Wielomian $W(x) =\$ $0$ nazywamy wielomianem zerowym.

Niektóre wielomiany można zapisać w postaci iloczynowej.