0% przygotowania do matury

Wielomian

Wielomian to funkcja. Wielomiany w odróżnieniu od zwykłych funkcji przyjęło się oznaczać dużymi literami, np. W, P, Q. Przykładowym wielomianem jest funkcja W(x) = 3x^{3}+4x+2. Jest to wielomian trzeciego stopnia, gdyż najwyższą potęgą x jest 3. Inny wielomian to np. P(x) = x^{4} - x^{3} + 2x^{2} - x + 4 . P jest wielomianem czwartego stopnia (nie ma wyższej potęgi x niż 4). Jeszcze inne wielomiany: Q(x) = 5 i G(x) = x + 1 to wielomiany odpowiednio zerowego stopnia (x w ogóle nie występuje) oraz pierwszego stopnia (najwyższą potęgą x jest 1, bo x = x^{1}). Ogólnie:

Wielomianem n-tego stopnia nazywamy każdą funkcję postaci: W(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_{1}x + a_{0}, gdzie a_{n} \ne 0.

Dziedzina wielomianu to: D = \mathbb{R}.

Liczby rzeczywiste a_{n}, a_{n-1}, ..., a_{1}, a_{0} nazywamy współczynnikami wielomianu. Dodatkowo: współczynnik a_{n} nazywamy najstarszym współczynnikiem wielomianu, zaś współczynnik a_{0} nazywamy wyrazem wolnym.

Warto zauważyć, że wielomiany drugiego stopnia (zwane też trójmianami kwadratowymi) to funkcje kwadratowe, np. Q(x) = x^{2}+3x-2, zaś wielomiany pierwszego lub zerowego stopnia to funkcje liniowe, np: W(x) = x + 6, G(x) = 4. Wielomiany zerowego stopnia takie jak wielomian G to funkcje liniowe stałe.

Wielomian W(x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym.

Niektóre wielomiany można zapisać w postaci iloczynowej.