Wykres funkcji kwadratowej (parabola)

4. Funkcje.

Wykres funkcji kwadratowej (parabola)

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Od współczynnika $a$ zależy czy ma ona ramiona skierowane do góry czy do dołu:

gdy mamy $a > 0$ , to parabola ma ramiona skierowane do góry,
gdy mamy $a < 0$ , to parabola ma ramiona skierowane do dołu.

Parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,c)$ . Zatem współczynnik $c$ mówi nam na jakiej wysokości funkcja kwadratowa przecina oś $Oy$ .

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

parabola (wykres funkcji kwadratowej

y =\

\frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x - 1

)
ramiona skierowane do góry (

a =\

\frac{1}{2} > 0

)
przecięcie z osią

Oy

w punkcie

(0,-1)

(

c = -1

)

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

parabola (wykres funkcji kwadratowej

y =\

-3x^{2} - 2x - \frac{3}{2}

)
ramiona skierowane do dołu (

a =\

-3 < 0

)
przecięcie z osią

Oy

w punkcie

(0,-\frac{3}{2})

(

c =\

-\frac{3}{2}

)

Aby narysować parabolę:

Sprawdzamy czy parabola ma ramiona skierowane do góry ( $a > 0$ ) czy do dołu ( $a < 0$ ).
Zaznaczamy punkt $(0,c)$ przecięcia z osią $Oy$ .
Obliczamy i zaznaczamy (o ile są) miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
Obliczamy i zaznaczamy wierzchołek funkcji kwadratowej.
Jeśli jest taka potrzeba (szczególnie jeśli funkcja nie ma dwóch miejsc zerowych) obliczamy i zaznaczamy dodatkowe punkty z paraboli, podstawiając za $x$ wybrane liczby i obliczając wartość $y$ .

Przykład. Narysuj wykres funkcji: $y =\$ $x^{2}+x-2$ .

1. Ramiona będziemy rysować do góry: $a =\$ $1 > 0$

2. Punkt przecięcią z osią $Oy$ to $(0,-2)$ (bo $c = -2$ ).

3. Szukamy miejsc zerowych:

$x^{2}+x-2 =\$ $0\hspace{4mm}$ (równanie kwadratowe)

$\Delta =\$ $1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2) =\$ $1 + 8 =\$ $9 > 0$

Mamy zatem dwa miejsca zerowe:

$x_{1} =\$ $\frac{-1 - \sqrt{9}}{2\cdot 1} =\$ $\frac{-1 - 3}{2} =\$ $\frac{-4}{2} =\$ $-2$

$x_{2} =\$ $\frac{-1 + \sqrt{9}}{2\cdot 1} =\$ $\frac{-1 + 3}{2} =\$ $\frac{2}{2} =\$ $1$

4. Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_{W} =\$ $\frac{-b}{2a} =\$ $\frac{-1}{2\cdot 1} =\$ $-\frac{1}{2}$

$y_{W} =\$ $\frac{-\Delta}{4a} =\$ $\frac{-9}{4\cdot 1} =\$ $-\frac{9}{4} =\$ $-2\frac{1}{4}$

Czyli wierzchołek ma współrzędne: $W =\$ $(-\frac{1}{2},-2\frac{1}{4})$ .

Zobaczmy jak wyglądają obliczone punkty w układzie współrzędnych:

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

miejsca zerowe, przecięcie z osią

Oy

i wierzchołek funkcji kwadratowej

y =\

x^{2}+x-2

5. W sumie już moglibyśmy narysować wykres: parabolę która przechodzi przez te cztery punkty i ma ramiona skierowane do góry. Ale pokażmy jak obliczyć współrzędne dodatkowego punktu paraboli. Weźmy $x = 2$ . Obliczmy wartość $y$ , dla tego $x$ :

$y =\$ $2^{2}+2-2 =\$ $4$

Mamy dodatkowy punkt paraboli: $(2,4)$ . Zaznaczamy go układzie współrzędnych i rysujemy parabolę przechodzącą przez zaznaczone punkty:

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

wykres funkcji kwadratowej

y =\

x^{2}+x-2