0% przygotowania do matury

Wykres funkcji kwadratowej (parabola)

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Od współczynnika a zależy czy ma ona ramiona skierowane do góry czy do dołu:

  • gdy mamy a > 0, to parabola ma ramiona skierowane do góry,
  • gdy mamy a < 0, to parabola ma ramiona skierowane do dołu.

Parabola przecina oś Oy w punkcie (0,c). Zatem współczynnik c mówi nam na jakiej wysokości funkcja kwadratowa przecina oś Oy.

parabola (wykres funkcji kwadratowej y = \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x - 1)
ramiona skierowane do góry (a = \frac{1}{2} > 0)
przecięcie z osią Oy w punkcie (0,-1) (c = -1)
parabola (wykres funkcji kwadratowej y = -3x^{2} - 2x - \frac{3}{2})
ramiona skierowane do dołu (a = -3 < 0)
przecięcie z osią Oy w punkcie (0,-\frac{3}{2}) (c = -\frac{3}{2})

Aby narysować parabolę:

  1. Sprawdzamy czy parabola ma ramiona skierowane do góry (a > 0) czy do dołu (a < 0).
  2. Zaznaczamy punkt (0,c) przecięcia z osią Oy.
  3. Obliczamy i zaznaczamy (o ile są) miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
  4. Obliczamy i zaznaczamy wierzchołek funkcji kwadratowej.
  5. Jeśli jest taka potrzeba (szczególnie jeśli funkcja nie ma dwóch miejsc zerowych) obliczamy i zaznaczamy dodatkowe punkty z paraboli, podstawiając za x wybrane liczby i obliczając wartość y.

Zadanie. Narysuj wykres funkcji: y = x^{2}+x-2.

1. Ramiona będziemy rysować do góry: a = 1 > 0

2. Punkt przecięcią z osią Oy to (0,-2) (bo c = -2).

3. Szukamy miejsc zerowych:

x^{2}+x-2 = 0\hspace{4mm} (równanie kwadratowe)

\Delta = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 > 0

Mamy zatem dwa miejsca zerowe:

x_{1} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2\cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2

x_{2} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2\cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1

4. Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

x_{W} = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2\cdot 1} = -\frac{1}{2}

y_{W} = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-9}{4\cdot 1} = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4}

Czyli wierzchołek ma współrzędne: W = (-\frac{1}{2},-2\frac{1}{4}).

Zobaczmy jak wyglądają obliczone punkty w układzie współrzędnych:

miejsca zerowe, przecięcie z osią Oy i wierzchołek funkcji kwadratowej y = x^{2}+x-2

5. W sumie już moglibyśmy narysować wykres: parabolę która przechodzi przez te cztery punkty i ma ramiona skierowane do góry. Ale pokażmy jak obliczyć współrzędne dodatkowego punktu paraboli. Weźmy x = 2. Obliczmy wartość y, dla tego x:

y = 2^{2}+2-2 = 4

Mamy dodatkowy punkt paraboli: (2,4). Zaznaczamy go układzie współrzędnych i rysujemy parabolę przechodzącą przez zaznaczone punkty:

wykres funkcji kwadratowej y = x^{2}+x-2