0% przygotowania do matury

Wykres proporcjonalności odwrotnej (hiperbola)

Wykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola:

hiperbola (wykres proporcjonalności odwrotnej y = \frac{1}{x})

Jeśli a > 0 to proporcjonalność odwrotna jest funkcją malejącą, a hiperbola przechodzi przez I i III ćwiartkę układu współrzędnych:

wykres proporcjonalności odwrotnej y = \frac{2}{x}
funkcja maleje (a = 2 > 0)

Jeśli a < 0 to proporcjonalność odwrotna jest funkcją rosnącą, a hiperbola przechodzi przez II i IV ćwiartkę układu współrzędnych:

wykres proporcjonalności odwrotnej y = -\frac{1}{x} = \frac{-1}{x}
funkcja maleje (a = -1 < 0)

Zauważmy, że ramiona hiperboli zbliżają się do osi Ox i Oy. Zbliżają się, ale nigdy do nich nie dochodzą. Uważajmy więc, by przy rysowaniu nie najechać na żadną z osi układu.

Aby narysować wykres proporcjonalności odwrotnej należy obliczyć kilka punktów z hiperboli (tylko dla x > 0) i połączyć je hiperbolą w układzie współrzędnych.

Zadanie. Narysuj wykres funkcji: y = \frac{3}{x}.

Obliczmy współrzędne kilku punktów dla x > 0. Możemy to zrobić w tabeli. Dobierzmy takie wartości x, by nie wychodziły skomplikowane wartości y:

x123
y = \frac{3}{x}   

y = \frac{3}{1} = 3

y = \frac{3}{2}

y = \frac{3}{3} = 1

Zatem:

x123
y = \frac{3}{x}3\frac{3}{2}1

Otrzymane punkty: (1,3), (2,\frac{3}{2}) oraz (3,1) zaznaczamy w układzie współrzędnych i łączymy hiperbolą:

niedokończony wykres proporcjonalności odwrotnej y = \frac{3}{x}
na razie tylko dla x > 0

Drugą część hiperboli, dla x < 0, rysujemy łącząc hiperbolą punkty o współrzędnych przeciwnych do współrzędnych wcześniej obliczonych punktów: (-1,-3), (-2,-\frac{3}{2}) oraz (-3,-1):

wykres proporcjonalności odwrotnej y = \frac{3}{x}

Podobnie rysujemy wykresy proporcjonalności odwrotnych z a < 0.