Wyznaczanie dziedziny funkcji
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji należy pamiętać o trzech zasadach:
- To co jest w mianowniku musi być różne od 0.
- To co jest pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być większe bądź równe zero (wyjątek: to co jest pod pierwiastkiem musi być większe od 0, jeśli jest on w mianowniku).
- To co jest liczbą logarytmowaną musi być dodatnie.
Dziedzina domyślnie dopuszcza wszystkie wartości niewiadomej i tam gdzie nie ma żadnego dzielenia, pierwiastków parzystych stopni, logarytmowania, to się jej nie zapisuje. Brak zapisu dziedziny oznacza, że dopuszczamy do rozważań wszystkie liczby rzeczywiste. Tak też robimy przy równaniach wielomianowych, nierównościach kwadratowych. Tam nie piszemy dziedziny, więc w domyśle D = \mathbb{R}.
Przykład. Wyznacz dziedzinę funkcji: y = \frac{2}{x-1} + \frac{\sqrt{x+2}}{3}.
1. Sprawdzamy czy są mianowniki. Są. Bierzemy te z x, czyli: x-1. To co jest w mianowniku musi być różne od 0:
x-1 \ne 0
x \ne 1
2. Teraz pierwiastki parzystego stopnia (oczywiście te z x). Mamy jeden taki: \sqrt{x+2}. To co jest pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być większe bądź równe zero:
x+2 \ge 0
x \ge -2
3. Czy są jakieś logarytmy (te z x)? Nie ma.
Otrzymaliśmy zatem ostatecznie warunki: x \ne 1 \wedge x \ge -2 (otrzymane warunki z dziedziny zawsze łączymy spójnikiem \wedge), co możemy zapisać w postaci przedziału: x \in \langle-2,\infty)\setminus\left\{1\right\}. Czyli:
D = \langle-2,\infty)\setminus\left\{1\right\}
Przykład. Wyznacz dziedzinę funkcji: y = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}.
1. Sprawdzamy czy są mianowniki. Są. Bierzemy te z x: \sqrt{x^{2}-1}, czyli mamy pierwiastek parzystego stopnia w mianowniku, zatem to co jest pod pierwiastkiem musi być większe od 0:
x^{2}-1 > 0
x^{2} > 1\hspace{4mm}|\sqrt{\phantom{x}}\hspace{4mm} (pierwiastkujemy kwadrat niewiadomej)
|x| > \sqrt{1}
|x| > 1\hspace{4mm} (nierówność z wartością bezwzględną)
x > 1\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x < -1
2. Innych pierwiastków parzystego stopnia już nie ma.
3. Logarytmów też nie ma.
D = (-\infty,-1) \cup (1,\infty)
Przykład. Wyznacz dziedzinę funkcji: y = \frac{\log_{2}(x+2)}{x+3}+\frac{\sqrt{2}}{2}.
1. Sprawdzamy czy są mianowniki. Są. Bierzemy te z x: x+3. To co jest w mianowniku musi być różne od 0:
x+3\ne 0
x\ne -3
2. Sprawdzamy czy są pierwiastki parzystego stopnia (te z x). Nie ma.
3. Sprawdzamy czy są logarytmy (te z x). Są: \log_{2}(x+2). Liczba logarytmowana, którą jest tutaj x+2, musi być dodatnia:
x+2>0
x>-2
Mamy ostatecznie dwa warunki do dziedziny: x\ne -3\wedge x>-2. Warunek x>-2 to inaczej przedział (-2,\infty). W przedziale tym nie ma -3, zatem warunku x\ne -3 nie musimy uwzględniać. Czyli:
D = (-2,\infty)