Wyznaczanie dziedziny funkcji
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji, należy pamiętać o trzech zasadach:
- To, co jest w mianowniku, musi być różne od 0.
- To, co jest pod pierwiastkiem parzystego stopnia, musi być większe bądź równe 0 (jeśli pierwiastek znajduje się w mianowniku, musi być większe od 0).
- To, co jest logarytmowane, musi być dodatnie.
Jeśli we wzorze nie występuje dzielenie przez wyrażenie zawierające niewiadomą, pierwiastek parzystego stopnia ani logarytm, dziedziny zwykle nie zapisujemy. Oznacza to, że w domyśle D = \mathbb{R}. Tak też robimy przy równaniach wielomianowych i nierównościach kwadratowych.
Przykład. Wyznacz dziedzinę funkcji: y = \frac{2}{x-1} + \frac{\sqrt{x+2}}{3}.
1. Sprawdzamy czy są mianowniki. Są. Bierzemy te z x, czyli: x-1. To co jest w mianowniku musi być różne od 0:
x-1 \ne 0
x \ne 1
2. Teraz pierwiastki parzystego stopnia (oczywiście te z x). Mamy jeden taki: \sqrt{x+2}. To co jest pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być większe bądź równe zero:
x+2 \ge 0
x \ge -2
3. Czy są jakieś logarytmy (te z x)? Nie ma.
Otrzymaliśmy zatem ostatecznie warunki: x \ne 1 \wedge x \ge -2 (otrzymane warunki z dziedziny łączymy spójnikiem \wedge), co możemy zapisać w postaci przedziału: x \in [-2,\infty)\setminus\left\{1\right\}. Czyli:
D = [-2,\infty)\setminus\left\{1\right\}
Przykład. Wyznacz dziedzinę funkcji: y = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}.
1. Sprawdzamy czy są mianowniki. Są. Bierzemy te z x: \sqrt{x^{2}-1}, czyli mamy pierwiastek parzystego stopnia w mianowniku, zatem to co jest pod pierwiastkiem musi być większe od 0:
x^{2}-1 > 0
x^{2} > 1\quad |\sqrt{\phantom{x}}\quad (pierwiastkujemy kwadrat niewiadomej)
|x| > \sqrt{1}
|x| > 1\quad (nierówność z wartością bezwzględną)
x > 1\quad \vee\quad x < -1
2. Innych pierwiastków parzystego stopnia już nie ma.
3. Logarytmów też nie ma.
D = (-\infty,-1) \cup (1,\infty)
Przykład. Wyznacz dziedzinę funkcji: y = \frac{\log_{2}(x+2)}{x+3}+\frac{\sqrt{2}}{2}.
1. Sprawdzamy czy są mianowniki. Są. Bierzemy te z x: x+3. To co jest w mianowniku musi być różne od 0:
x+3\ne 0
x\ne -3
2. Sprawdzamy czy są pierwiastki parzystego stopnia (te z x). Nie ma.
3. Sprawdzamy czy są logarytmy (te z x). Są: \log_{2}(x+2). Liczba logarytmowana, którą jest tutaj x+2, musi być dodatnia:
x+2>0
x>-2
Mamy ostatecznie dwa warunki do dziedziny: x\ne -3\wedge x>-2. Warunek x>-2 to inaczej przedział (-2,\infty). Liczba -3 nie należy do tego przedziału, więc warunku x\ne -3 nie musimy już uwzględniać. Czyli:
D = (-2,\infty)