Wyznaczanie dziedziny funkcji
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji należy pamiętać o trzech zasadach:
- To co jest w mianowniku musi być różne od zera.
- To co jest pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być większe bądź równe zero (wyjątek: to co jest pod pierwiastkiem musi być większe od zera, jeśli jest on w mianowniku).
- To co jest liczbą logarytmowaną musi być dodatnie.
Dziedzina domyślnie dopuszcza wszystkie wartości niewiadomej i tam gdzie nie ma żadnego dzielenia, pierwiastków parzystych stopni, logarytmowania, to się jej nie zapisuje. Brak zapisu dziedziny oznacza, że dopuszczamy do rozważań wszystkie liczby rzeczywiste. Tak też robimy przy równaniach wielomianowych, nierównościach kwadratowych. Tam nie piszemy dziedziny, więc w domyśle D = \mathbb{R}.
Zadanie. Wyznacz dziedzinę funkcji: y = \frac{2}{x-1} + \frac{\sqrt{x+2}}{3}.
1. Sprawdzamy czy są mianowniki. Są. Bierzemy te z x, czyli: x-1. To co jest w mianowniku musi być różne od zera:
x-1 \ne 0
x \ne 1
2. Teraz pierwiastki parzystego stopnia (oczywiście te z x). Mamy jeden taki: \sqrt{x+2}. To co jest pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być większe bądź równe zero:
x+2 \ge 0
x \ge -2
3. Czy są jakieś logarytmy (te z x)? Nie ma.
Otrzymaliśmy zatem ostatecznie warunki: x \ne 1 \wedge x \ge -2 (otrzymane warunki z dziedziny zawsze łączymy spójnikiem \wedge), co możemy zapisać w postaci przedziału: x \in \langle-2,\infty)\setminus\left\{1\right\}. Czyli:
D = \langle-2,\infty)\setminus\left\{1\right\}
Zadanie. Wyznacz dziedzinę funkcji: y = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}.
1. Sprawdzamy czy są mianowniki. Są. Bierzemy te z x: \sqrt{x^{2}-1}, czyli mamy pierwiastek parzystego stopnia w mianowniku, zatem to co jest pod pierwiastkiem musi być większe od zera:
x^{2}-1 > 0
x^{2} > 1\hspace{4mm}|\sqrt{\phantom{x}}\hspace{4mm} (pierwiastkujemy kwadrat niewiadomej)
|x| > \sqrt{1}
|x| > 1\hspace{4mm} (nierówność z niewiadomą w module)
x > 1\hspace{4mm} \vee\hspace{4mm} x < -1
2. Innych pierwiastków parzystego stopnia już nie ma.
3. Logarytmów też nie ma.
D = (-\infty,-1) \cup (1,\infty)
Zadanie. Wyznacz dziedzinę funkcji: y = \frac{\log_{2}(x+2)}{x+3}+\frac{\sqrt{2}}{2}.
1. Sprawdzamy czy są mianowniki. Są. Bierzemy te z x: x+3. To co jest w mianowniku musi być różne od zera:
x+3\ne 0
x\ne -3
2. Sprawdzamy czy są pierwiastki parzystego stopnia (te z x). Nie ma.
3. Sprawdzamy czy są logarytmy (te z x). Są: \log_{2}(x+2). Liczba logarytmowana, którą jest tutaj x+2, musi być dodatnia:
x+2>0
x>-2
Mamy ostatecznie dwa warunki do dziedziny: x\ne -3\wedge x>-2. Warunek x>-2 to inaczej przedział (-2,\infty). W przedziale tym nie ma -3, zatem warunku x\ne -3 nie musimy uwzględniać. Czyli:
D = (-2,\infty)