Wyznaczanie wartości największej i najmniejszej funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
Aby wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym, należy sprawdzić czy wierzchołek funkcji mieści się w zadanym przedziale:
wierzchołek funkcji mieści się w zadanym przedziale
wartość największa jest w wierzchołku
wartość najmniejsza jest na prawym krańcu funkcji
wierzchołek funkcji nie mieści się w zadanym przedziale
wartość największa jest na prawym krańcu funkcji
wartość najmniejsza jest na lewym krańcu funkcji
Zatem, aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym \langle a,b\rangle:
- Obliczamy wartości funkcji w krańcach a i b przedziału.
- Sprawdzamy czy x_{W} = \frac{-b}{2a} (współrzędna x wierzchołka) należy do przedziału (a,b) i jeśli tak, to obliczamy y_{W} = \frac{-\Delta}{4a} (współrzędna y wierzchołka).
- Z obliczonych wartości funkcji na krańcach (i opcjonalnie z wartości y_{W} wierzchołka) wybieramy wartość największą i najmniejszą.
Przykład. Oblicz wartość największą i najmniejszą funkcji: f(x) = 3x^{2} + 2x + 1 w przedziale \langle0,2\rangle.
1. Obliczamy najpierw wartości funkcji f na krańcach 0 i 2 przedziału:
f(0) = 3\cdot0^{2}+2\cdot0+1 = 1
f(2) = 3\cdot2^{2}+2\cdot2+1 = 3\cdot4 + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17
2. Sprawdźmy teraz czy x_{W} wierzchołka należy do przedziału (0,2):
x_{W} = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2\cdot3} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3} \notin (0,2)
3. Zatem tylko z dwóch obliczonych wartości: f(0) = 1 i f(2) = 17, wybieramy wartość największą i najmniejszą: wartość największa to 17, a najmniejsza to 1.
Przykład. Oblicz wartość największą i najmniejszą funkcji: f(x) = -x^{2} + 3x + 1 w przedziale \langle-1,3\rangle.
1. Obliczamy najpierw wartości funkcji f na krańcach -1 i 3 przedziału:
f(-1) = -(-1)^{2}+3\cdot(-1)+1 = -1 - 3 + 1 = -3
f(3) = -(3)^{2}+3\cdot3+1 = -9 + 9 + 1 = 1
2. Sprawdźmy teraz czy x_{W} wierzchołka należy do przedziału (-1,3):
x_{W} = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2\cdot(-1)} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} \in (-1,3)
Czyli doliczamy y_{W} wierzchołka:
\Delta = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4\cdot (-1)\cdot1 = 9 + 4 = 13
y_{W} = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-13}{4\cdot(-1)} = \frac{-13}{-4} = \frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}
3. Zatem z trzech obliczonych wartości: f(-1) = -3, f(3) = 1 i y_{W} = 3\frac{1}{4}, wybieramy wartość największą i najmniejszą: wartość największa to 3\frac{1}{4}, a najmniejsza to -3.