Wyznaczanie wartości największej i najmniejszej funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
Aby wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym, należy sprawdzić, czy wierzchołek paraboli znajduje się wewnątrz tego przedziału:
wierzchołek paraboli znajduje się wewnątrz przedziału
wartość największa jest w wierzchołku
wartość najmniejsza jest na prawym krańcu funkcji
wierzchołek paraboli nie znajduje się wewnątrz przedziału
wartość największa jest na prawym krańcu funkcji
wartość najmniejsza jest na lewym krańcu funkcji
Zatem, aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym [a,b]:
- Obliczamy wartości funkcji na krańcach a i b przedziału.
- Sprawdzamy, czy x_{W} = \frac{-b}{2a} należy do przedziału (a,b). Jeśli tak, obliczamy y_{W} = \frac{-\Delta}{4a}.
- Spośród obliczonych wartości funkcji na krańcach oraz, jeśli została obliczona, wartości y_{W} wierzchołka, wybieramy wartość największą i najmniejszą.
Przykład. Oblicz wartość największą i najmniejszą funkcji: f(x) = 3x^{2} + 2x + 1 w przedziale [0,2].
1. Obliczamy najpierw wartości funkcji f na krańcach 0 i 2 przedziału:
f(0) = 3\cdot0^{2}+2\cdot0+1 = 1
f(2) = 3\cdot2^{2}+2\cdot2+1 = 3\cdot4 + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17
2. Sprawdźmy teraz, czy x_{W} wierzchołka należy do przedziału (0,2):
x_{W} = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2\cdot3} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3} \notin (0,2)
3. Zatem tylko z dwóch obliczonych wartości: f(0) = 1 i f(2) = 17, wybieramy wartość największą i najmniejszą: wartość największa to 17, a najmniejsza to 1.
Przykład. Oblicz wartość największą i najmniejszą funkcji: f(x) = -x^{2} + 3x + 1 w przedziale [-1,3].
1. Obliczamy najpierw wartości funkcji f na krańcach -1 i 3 przedziału:
f(-1) = -(-1)^{2}+3\cdot(-1)+1 = -1 - 3 + 1 = -3
f(3) = -(3)^{2}+3\cdot3+1 = -9 + 9 + 1 = 1
2. Sprawdźmy teraz, czy x_{W} wierzchołka należy do przedziału (-1,3):
x_{W} = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2\cdot(-1)} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} \in (-1,3)
Czyli doliczamy y_{W} wierzchołka:
\Delta = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4\cdot (-1)\cdot1 = 9 + 4 = 13
y_{W} = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-13}{4\cdot(-1)} = \frac{-13}{-4} = \frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}
3. Zatem z trzech obliczonych wartości: f(-1) = -3, f(3) = 1 i y_{W} = 3\frac{1}{4}, wybieramy wartość największą i najmniejszą: wartość największa to 3\frac{1}{4}, a najmniejsza to -3.