0% przygotowania do matury

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Każdy ciąg arytmetyczny ma wzór ogólny:

a_{n} = a_{1} + (n-1)\cdot r

Stała r to różnica ciągu arytmetycznego, zaś a_{1} to pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego.

Zadanie. W ciągu arytmetycznym: a_{1} = 4 i r = -6. Oblicz a_{12}.

Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

a_{n} = a_{1} + (n-1)\cdot r

a_{n} = 4 + (n-1)\cdot (-6)

Zatem dwunasty wyraz tego ciągu to (pod n podstawiamy 12):

a_{12} = 4 + (12-1)\cdot (-6) = 4 + 11\cdot (-6) = 4 - 66 = -62

Zadanie. W ciągu arytmetycznym: a_{1} = -1 i a_{6} = -16. Oblicz różnicę r tego ciągu.

Wzór ogólny ciągu ma postać:

a_{n} = a_{1} + (n-1)\cdot r

a_{n} = -1 + (n-1)\cdot r

Wiemy, że a_{6} = -16, a ze wzoru ogólnego:

a_{6} = -1 + (6-1)\cdot r

Czyli:

-16 = -1 + 5r

5r = -15\hspace{4mm}|:5

r = \frac{-15}{5} = -3

Zadanie. Który wyraz ciągu a_{n} = 3 + (n-1)\cdot \frac{5}{3} jest równy 13?

Podstawiamy a_{n} = 13 do wzoru ogólnego i obliczamy n:

13 = 3 + (n-1)\cdot \frac{5}{3}

10 = (n-1)\cdot \frac{5}{3}\hspace{4mm}|\cdot3

30 = (n-1)\cdot 5

30 = 5n-5

5n = 35\hspace{4mm}|:5

n = \frac{35}{5} = 7

Zatem a_{7} = 13 (jest to siódmy wyraz ciągu).