0% przygotowania do matury

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Każdy ciąg geometryczny ma wzór ogólny:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n-1}

Stała q to iloraz ciągu geometrycznego, zaś a_{1} to pierwszy wyraz ciągu geometrycznego.

Zadanie. W ciągu geometrycznym: a_{1} = 3 i q = -3. Oblicz a_{5}.

Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n-1}

a_{n} = 3 \cdot (-3)^{n-1}

Zatem piąty wyraz tego ciągu to (pod n podstawiamy 5):

a_{5} = 3 \cdot (-3)^{5-1} = 3 \cdot (-3)^{4} = 3 \cdot 81 = 243

Zadanie. W ciągu geometrycznym: a_{1} = -28 i a_{6} = -\frac{7}{8}. Oblicz iloraz q tego ciągu.

Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n-1}

a_{n} = -28 \cdot q^{n-1}

Wiemy, że a_{6} = -\frac{7}{8}, a ze wzoru ogólnego:

a_{6} = -28 \cdot q^{6-1}

Czyli:

-\frac{7}{8} = -28 \cdot q^{5}

-28q^{5} = -\frac{7}{8}\hspace{4mm}|:(-28)

q^{5} = -\frac{7}{8}:(-28) = -\frac{7}{8}\cdot (-\frac{1}{28}) = \frac{1}{32}

q^{5} = \frac{1}{32}\hspace{4mm}|\sqrt[5]{\phantom{x}}

q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}