Ułamek dziesiętny
Ułamek dziesiętny składa się z części całkowitej i części ułamkowej, które są oddzielone przecinkiem (tzw. przecinkiem dziesiętnym). Pierwsze miejsce po przecinku oznacza część dziesiątą, drugie – setną, trzecie – tysięczną, czwarte – dziesięciotysięczną itd.
Liczba 0{,}453 jest ułamkiem dziesiętnym: 0 to część całkowita, a 453 to część ułamkowa (\frac{453}{1000}). Czytamy ją: "zero i czterysta pięćdziesiąt trzy tysięczne".
Liczba 87{,}46 również jest ułamkiem dziesiętnym: 87 to część całkowita, a 46 to część ułamkowa (\frac{46}{100}). Czytamy ją: "osiemdziesiąt siedem i czterdzieści sześć setnych".
Zapis liczby w postaci ułamka dziesiętnego nazywamy jej rozwinięciem dziesiętnym.
Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły
Jeśli liczba ma skończone rozwinięcie dziesiętne i chcemy zamienić ją na ułamek zwykły, wystarczy odczytać jej nazwę i zapisać odpowiedni ułamek.
Na przykład:
6{,}823
czytamy: "sześć i osiemset dwadzieścia trzy tysięczne", więc:
6{,}823 = 6\frac{823}{1000}
Jeśli natomiast liczba ma nieskończone okresowe rozwinięcie dziesiętne, to korzystamy z poniższej metody.
Przykład. Zamień 7{,}(68) na ułamek zwykły.
Niech:
x = 7{,}(68)
Mnożymy obie strony równania przez taką potęgę liczby 10, aby przecinek przesunął się o tyle miejsc, ile cyfr ma okres. Tutaj okres ma długość 2, więc mnożymy przez 100:
x = 7{,}(68)\hspace{4mm}|\cdot 100
100x = 768{,}(68)\hspace{4mm}
Teraz odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
100x - x = 768{,}(68) - x
99x = 768{,}(68) - 7{,}(68)
99x = 761\hspace{4mm}|:99
x = \frac{761}{99}
Można sprawdzić na kalkulatorze, czy \frac{761}{99} = 7{,}(68).
Przykład. Zamień liczbę 0{,}9(5) na ułamek zwykły.
x = 0{,}9(5)
Najpierw przesuwamy przecinek tak, aby znalazł się bezpośrednio przed okresem:
x = 0{,}9(5)\hspace{4mm}|\cdot 10
10x = 9{,}(5)
Teraz postępujemy tak jak wcześniej. Okres ma jedną cyfrę, więc mnożymy przez 10:
10x = 9{,}(5)\hspace{4mm}|\cdot 10
100x = 95{,}(5)
Odejmujemy równania:
100x - 10x = 95{,}(5) - 10x
90x = 95{,}(5) - 9{,}(5)
90x = 86\hspace{4mm}|:90
x = \frac{86}{90}
Ciekawostka
0{,}(9) = 1
Choć może wydawać się to dziwne, te liczby są sobie równe. Podobnie:
1{,}(9) = 2
2{,}(9) = 3
-0{,}(9) = -1
I tak dalej.
Sprawdź na kalkulatorze lub spróbuj samodzielnie uzasadnić, dlaczego tak jest.