Liczby wymierne
Liczby wymierne to wszystkie liczby, które da się przedstawić w postaci ułamka o całkowitym liczniku i mianowniku, czyli:
\frac{a}{b}, gdzie a, b \in \mathbb{Z} oraz b \ne 0.
Przykład.
Liczba \frac{3}{4} jest liczbą wymierną.
Liczba -\frac{5}{2} = \frac{-5}{2} również jest liczbą wymierną.
Liczba 2 jest liczbą wymierną, ponieważ: 2 = \frac{2}{1}.
Liczba \frac{\sqrt{2}}{2} nie jest liczbą wymierną, ponieważ nie da się jej przedstawić w postaci ułamka o całkowitym liczniku i mianowniku.
Trzeba jednak uważać — obecność pierwiastka nie oznacza jeszcze, że liczba jest niewymierna: \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}, więc liczba \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} jest liczbą wymierną.
Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem \mathbb{Q}. Możemy więc zapisać:
\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b}: a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0\right\}
(czytamy: "liczby \frac{a}{b} takie, że a i b należą do zbioru liczb całkowitych i b \ne 0")
Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka o całkowitych liczniku i mianowniku (wystarczy do mianownika wpisać 1), zatem zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych. Ponieważ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}, to ostatecznie:
\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}
Liczby wymierne mają rozwinięcie dziesiętne skończone lub okresowe.