Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to taki zapis jej wzoru, z którego możemy od razu odczytać współrzędne wierzchołka paraboli:
W odróżnieniu od postaci iloczynowej, postać kanoniczna funkcji kwadratowej zawsze istnieje.
Podstawiając do wzoru na postać kanoniczną wzory na p i q, otrzymujemy:
Przykład. Znajdź postać kanoniczną funkcji kwadratowej y = 3x^{2} + 4x + 1.
Obliczamy najpierw współrzędne wierzchołka tej funkcji:
p = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2\cdot3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}
\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4\cdot3\cdot1 = 16 - 12 = 4
q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-4}{4\cdot3} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}
Mamy p i q, zatem możemy zapisać funkcję w postaci kanonicznej:
y = a(x-p)^{2}+q = 3(x-(-\frac{2}{3}))^{2}+(-\frac{1}{3}) = 3(x+\frac{2}{3})^{2}-\frac{1}{3}
Postać kanoniczna gotowa.
Sama funkcja kwadratowa nie ulega zmianie. Zmienia się tylko zapis jej wzoru. Jeśli podniesiemy (x+\frac{2}{3}) do kwadratu, pomnożymy przez 3 i zredukujemy wyrazy podobne, to z powrotem otrzymamy postać ogólną funkcji kwadratowej:
y = 3(x+\frac{2}{3})^{2}-\frac{1}{3} = 3(x^{2} + 2\cdot x\cdot\frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^{2}) - \frac{1}{3} = 3x^{2} + 3\cdot\frac{4}{3}x+3\cdot\frac{4}{9} - \frac{1}{3} = 3x^{2} + 4x + 1
Jeśli mamy daną postać kanoniczną funkcji kwadratowej, to możemy od razu odczytać współrzędne wierzchołka paraboli.
Przykład. Podaj współrzędne wierzchołka paraboli y = 2(x-1)^{2}+4.
Ponieważ y = a(x-p)^{2}+q to odczytujemy, że:
p = 1
q = 4
Zatem wierzchołek paraboli ma współrzędne: (1,4).
Inne przykłady:
- funkcja kwadratowa o postaci kanonicznej: y = (x+2)^{2} -1 ma wierzchołek o współrzędnych: p = -2 i q = -1
- funkcja kwadratowa o postaci kanonicznej: y = x^{2} -4 ma wierzchołek o współrzędnych: p = 0 i q = -4, bo y = x^{2} -4 = (x-0)^{2}-4
- funkcja kwadratowa o postaci kanonicznej: y = 4(x-3)^{2} ma wierzchołek o współrzędnych: p = 3 i q = 0, bo y = 4(x-3)^{2} = 4(x-3)^{2}+0
Warto zapamiętać, że odczytując p z postaci kanonicznej, zmieniamy znak liczby znajdującej się w nawiasie przy x.