Reguła mnożenia
Regułę mnożenia wykorzystujemy do zliczania możliwości w sytuacjach, które można podzielić na etapy.
Jeśli czynność możemy podzielić na dwa etapy, przy czym:
- etap 1 możemy wykonać na n_{1} sposobów
- etap 2 możemy wykonać na n_{2} sposobów
to całą czynność możemy wykonać na n_{1}\cdot n_{2} sposobów.
Przykład. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Ile jest wszystkich możliwych wyników rzutu?
Czynność rzucania dwiema kostkami można podzielić na dwa etapy:
- etap 1: rzut pierwszą kostką do gry
- etap 2: rzut drugą kostką do gry
Etap 1 możemy wykonać na 6 sposobów, ponieważ tyle jest możliwych różnych wyników rzutu sześcienną kostką.
Etap 2 też możemy wykonać na 6 sposobów.
Zatem z reguły mnożenia liczbę wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma kostkami obliczamy:
6\cdot 6 = 36
Czyli mamy 36 możliwych wyników rzutu dwoma sześciennymi kostkami.
Obliczenia można poprzeć rysunkiem:
Jeśli czynność możemy podzielić na trzy etapy, przy czym:
- etap 1 możemy wykonać na n_{1} sposobów
- etap 2 możemy wykonać na n_{2} sposobów
- etap 3 możemy wykonać na n_{3} sposobów
to całą czynność możemy wykonać na n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3} sposobów.
Przykład. Ile mamy nieparzystych liczb trzycyfrowych?
Mamy dziesięć różnych cyfr: \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}. Czynność składania liczby trzycyfrowej możemy podzielić na trzy etapy:
- etap 1: wybór cyfry setek
- etap 2: wybór cyfry dziesiątek
- etap 3: wybór cyfry jedności
Etap 1 możemy wykonać na 9 sposobów, ponieważ cyfrą setek może być dowolna cyfra oprócz cyfry 0. Gdyby na tym miejscu znalazło się 0, liczba nie byłaby trzycyfrowa.
Etap 2 możemy wykonać na 10 sposobów, ponieważ dowolna cyfra może stać na miejscu cyfry dziesiątek.
Etap 3 możemy wykonać na 5 sposobów, ponieważ liczba ma być nieparzysta, więc cyfrą jedności musi być jedna z cyfr: \{1, 3, 5, 7, 9\}.
Zatem z reguły mnożenia liczbę możliwości utworzenia nieparzystej liczby trzycyfrowej obliczamy:
9\cdot 10\cdot 5 = 450
Czyli istnieje 450 nieparzystych liczb trzycyfrowych.
Obliczenia można poprzeć rysunkiem:
Regułę mnożenia możemy analogicznie stosować do czynności składających się z większej liczby etapów. Jeśli kolejne etapy możemy wykonać odpowiednio na n_{1}, n_{2}, ..., n_{k} sposobów, to całą czynność możemy wykonać na n_{1}\cdot n_{2}\cdot\ldots\cdot n_{k} sposobów.