Podstawy zliczania
W zadaniach z kombinatoryki często chcemy ustalić, ile jest wszystkich możliwości. Nie zawsze trzeba jednak wypisywać je po kolei. Przy większej liczbie możliwości byłoby to bardzo pracochłonne i łatwo można byłoby się pomylić. Zamiast tego warto znaleźć sposób, aby policzyć możliwości szybciej.
Przykład. Ile jest liczb dwucyfrowych?
Liczba dwucyfrowa ma na pierwszym miejscu cyfrę od 1 do 9, więc mamy 9 możliwości.
Na drugim miejscu może znaleźć się dowolna cyfra od 0 do 9, czyli 10 możliwości.
Do każdej z 9 możliwości wyboru pierwszej cyfry możemy dobrać jedną z 10 możliwości wyboru drugiej cyfry. Zatem liczba możliwości wynosi:
9 \cdot 10 = 90
Czyli mamy 90 liczb dwucyfrowych.
Taki sposób zliczania możliwości nazywamy regułą mnożenia.
Przykład. W bibliotece znajduje się 5 powieści, 3 książki przygodowe i 4 książki popularnonaukowe. Na ile sposobów można wybrać jedną książkę, która jest powieścią lub książką popularnonaukową?
Możemy wybrać jedną z 5 powieści albo jedną z 4 książek popularnonaukowych. Zatem liczba możliwości wynosi:
5 + 4 = 9
Czyli powieść lub książkę popularnonaukową możemy wybrać na 9 sposobów.
Taki sposób zliczania możliwości nazywamy regułą dodawania.
W zadaniach z kombinatoryki możemy więc spotkać sytuacje, w których należy:
- pomnożyć liczbę możliwości (reguła mnożenia)
- dodać liczbę możliwości (reguła dodawania)
- zastosować obie reguły jednocześnie
Najważniejsze jest ustalenie, co dokładnie jest jedną możliwością i jakie warunki musi ona spełniać.