Układ równań nieoznaczony
Układ równań liniowych nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań. Dzieje się tak wtedy, gdy oba równania opisują tę samą prostą. Wykresy równań tego układu pokrywają się, więc punktów wspólnych jest nieskończenie wiele.
Przykład. Rozwiąż układ: \begin{cases} x - 2y = 5 \\ 4y -2x = -10 \end{cases}.
Spróbujmy rozwiązać układ metodą podstawiania. Z pierwszego równania wyznaczamy x i podstawiamy do drugiego równania:
\begin{cases} x = 5 + 2y \\ 4y -2\cdot (5 + 2y) = -10 \end{cases}
Rozwiązujemy drugie równanie:
4y -2\cdot (5 + 2y) = -10
4y -10 - 4y = -10
-10 = -10
Otrzymaliśmy tożsamość. Oznacza to, że równanie jest spełnione dla każdej dopuszczalnej wartości y. Zatem:
y \in \mathbb{R}
Wartość x zależy od y:
x = 5 + 2y
Na przykład:
- jeśli y = 5, to:
x = 5 + 2\cdot 5 = 15 - jeśli y = -1, to:
x = 5 + 2\cdot (-1) = 3
Rozwiązanie możemy zapisać:
\begin{cases} x = 5 + 2y \\ y \in \mathbb{R} \end{cases}
Układ ten jest układem nieoznaczonym (ma nieskończenie wiele rozwiązań).
Można zauważyć wcześniej, że równania są równoważne. Jeśli drugie równanie podzielimy stronami przez -2, otrzymamy:
4y -2x = -10\quad |:(-2)
-2y + x = 5
x - 2y = 5
Oba równania opisują tę samą prostą. Zapiszmy je w postaci kierunkowej:
x - 2y = 5
- 2y = -x + 5 \quad |:(-2)
y = \frac{-x}{-2} + \frac{5}{-2}
y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}
W układzie współrzędnych obie proste pokrywają się, dlatego układ równań nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań.