Układ równań sprzeczny
Układ równań liniowych sprzeczny nie ma rozwiązań. Wykresy równań tego układu (proste) nie mają punktów wspólnych. Proste są równoległe i nie pokrywają się.
Przykład. Rozwiąż układ: \begin{cases} -2x + 2y = 5 \\ -2y + 2x = -1 \end{cases}.
Spróbujmy go rozwiązać metodą podstawiania. Z drugiego równania wyznaczamy x i podstawiamy pod pierwsze równanie:
\begin{cases} -2x + 2y = 5 \\ 2x = -1 + 2y \quad |:2\end{cases}
\begin{cases} -2x + 2y = 5 \\ x = -\frac{1}{2} + y\end{cases}
\begin{cases} -2\cdot(-\frac{1}{2} + y) + 2y = 5 \\ x = -\frac{1}{2} + y\end{cases}
Rozwiązujemy pierwsze równanie:
-2\cdot(-\frac{1}{2} + y) + 2y = 5
1 - 2y + 2y = 5
1 = 5
Otrzymaliśmy sprzeczność. Oznacza to, że nie istnieje żadna para liczb (x,y), która spełnia oba równania jednocześnie.
Układ nie ma rozwiązań.
Układ ten jest układem sprzecznym.
Przekształćmy oba równania do postaci kierunkowej i narysujmy je w układzie współrzędnych:
\begin{cases} -2x + 2y = 5 \\ -2y + 2x = -1 \end{cases}
\begin{cases} 2y = 2x + 5\quad |:2 \\ -2y = - 2x - 1\quad |:(-2) \end{cases}
\begin{cases} y = x + \frac{5}{2} \\ y = \frac{-2x}{-2} - \frac{1}{-2} \end{cases}
\begin{cases} y = x + \frac{5}{2} \\ y = x + \frac{1}{2} \end{cases}
W układzie współrzędnych obie proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych, dlatego układ równań sprzeczny nie ma rozwiązań.