Układ równań oznaczony
Układ równań liniowych oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wykresy równań tego układu (proste) przecinają się w jednym punkcie. Współrzędne tego punktu są rozwiązaniem układu równań.
Przykład. Rozwiąż układ: \begin{cases} x + 3y = 5 \\ 2x + y = 0 \end{cases}.
Spróbujmy rozwiązać układ metodą podstawiania. Z pierwszego równania wyznaczamy x i podstawiamy do drugiego równania:
\begin{cases} x = 5 - 3y \\ 2 \cdot (5 - 3y) + y = 0 \end{cases}
Rozwiązujemy drugie równanie:
2 \cdot (5 - 3y) + y = 0
10 - 6y + y = 0
-5y = -10\quad|:(-5)
y = \frac{-10}{-5} = 2
Obliczamy x:
x = 5 - 3y = 5 - 3 \cdot 2 = 5 - 6 = -1
Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie:
\begin{cases} x = -1 \\ y = 2 \end{cases}
Możemy je również zapisać w postaci punktu:
(x,y)=(-1,2)
Układ ten jest układem oznaczonym (ma dokładnie jedno rozwiązanie).
Przekształćmy oba równania do postaci kierunkowej i narysujmy je w układzie współrzędnych:
\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 2x + y = 0 \end{cases}
\begin{cases} 3y = -x + 5\quad |:3 \\ y = -2x \end{cases}
\begin{cases} y = \frac{-x}{3} + \frac{5}{3} \\ y = -2x \end{cases}
\begin{cases} y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3} \\ y = -2x \end{cases}
W układzie współrzędnych obie proste przecinają się w jednym punkcie, dlatego układ równań oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie. Punkt (-1,2) jest jedynym rozwiązaniem tego układu.