Serwis zadaniacke.pl wykorzystuje tylko niezbędne pliki cookies. Więcej informacji znajdziesz w regulaminie.
Zadania CKE | Matura podstawowa z matematyki
7. Trygonometria

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego to funkcje, które mierze tego kąta przyporządkowują stosunki długości boków w trójkącie prostokątnym.

I tak wśród funkcji trygonometrycznych, które wykorzystują przeciwprostokątną mamy:

  • sinus (\sin) kąta, który jest stosunkiem długości dalszej przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej
  • cosinus (\cos) kąta, który jest stosunkiem długości bliższej przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej
\sin\sphericalangle = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}}

\cos\sphericalangle = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}}

Określenia "dalsza" i "bliższa" przyprostokątna opisują położenie przyprostokątnej względem kąta, dla którego liczymy sinus czy też cosinus:

3
4
5
\alpha
\beta
A
B
C
\sin\alpha = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{3}{5}
\cos\alpha = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{4}{5}
\sin\beta = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{4}{5}
\cos\beta = \frac{\text{bliższa przyprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{3}{5}

Natomiast wśród funkcji trygonometrycznych, które nie wykorzystują przeciwprostokątnej jest:

  • tangens (\tg) kąta, który jest stosunkiem długości dalszej przyprostokątnej do długości bliższej przyprostokątnej
\tg\sphericalangle = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{bliższa przyprostokątna}}

Ponownie: określenia "dalsza" i "bliższa" przyprostokątna opisują położenie przyprostokątnej względem kąta, dla którego liczymy tangens:

3
4
5
\alpha
\beta
A
B
C
\tg\alpha = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{bliższa przyprostokątna}} = \frac{3}{4}
\tg\beta = \frac{\text{dalsza przyprostokątna}}{\text{bliższa przyprostokątna}} = \frac{4}{3}

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30, 45 i 60 stopni są stablicowane.

Jak się tego nauczyć?

Kilka rad:

  • zwróćmy uwagę na podobieństwa: sinus i cosinus korzystają z przeciwprostokątnej
  • inne podobieństwa: sinus i tangens mają w liczniku dalszą przyprostokątną
  • rysowanie różnych trójkątów prostokątnych, w różnych położeniach i obliczanie wszystkich funkcji trygonometrycznych dla ich kątów ostrych jest najlepszym treningiem. Kilka dni ćwiczeń po kilka minut i będziesz mistrzem :-)

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

Jednym z najważniejszych wzorów w trygonometrii jest jedynka trygonometryczna:

\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1

Jedynka trygonometryczna umożliwia nam obliczenie wartości sinusa, gdy mamy daną wartość cosinusa, i odwrotnie.

Zapis \sin^{2}\alpha jest równoważny z zapisem: (\sin\alpha)^{2} = \sin\alpha\cdot \sin\alpha, czyli kwadrat przy sinusie oznacza podniesienie całej funkcji sinus do kwadratu. Podobnie z cosinusem.

Mamy jeszcze wzór wiążący tangens z sinusem i cosinusem:

\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Nie musimy się obawiać, że w mianowniku uzyskamy zero, bo rozważamy tylko kąty ostre, a dla nich sinus i cosinus są dodatnie.

Zakresy wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

Jeżeli \alpha jest kątem ostrym to: \sin\alpha\in(0,1), \cos\alpha\in(0,1), \tg\alpha > 0.

Jak widać, wszystkie funkcje trygonometryczne dla kąta ostrego przyjmują wartości dodatnie. Dlatego gdy obliczamy sinus lub cosinus kąta ostrego z jedynki trygonometrycznej, wybieramy dodatni pierwiastek. Dodatkowo zarówno sinus, jak i cosinus przyjmują wartości mniejsze od jedynki.