Podobieństwo trójkątów
Figury są podobne, jeśli mają taki sam kształt, ale niekoniecznie taką samą wielkość. Oznacza to, że odpowiednie kąty tych figur mają równe miary, a długości odpowiednich odcinków są proporcjonalne.
Dwa trójkąty są podobne, jeśli jeden z nich powstaje z drugiego poprzez jednakowe proporcjonalne pomniejszenie lub powiększenie długości wszystkich jego boków oraz poprzez możliwe (ale nie konieczne) odbicia symetryczne, przesunięcia i obroty. Taka proporcjonalna zmiana długości boków, przy zachowaniu miar odpowiednich kątów, odróżnia podobieństwo od przystawania trójkątów. Wzrokowo trójkąty podobne można rozpoznać po tym, że jeden z nich jest pomniejszoną lub powiększoną kopią drugiego.
Podobieństwo trójkątów zapisujemy z użyciem symbolu \sim (który czytamy jako "jest podobny do"). Ważne jest, aby wypisując wierzchołki trójkątów zapisać je w takiej kolejności w jakiej ich boki są podobne do siebie:
\triangle ABC \sim \triangle FED (czytamy: trójkąt ABC jest podobny do trójkąta FED)
Zapisaliśmy, że \triangle ABC \sim \triangle FED, a nie na przykład, że \triangle ABC \sim \triangle DEF, bo bokiem odpowiadającym bokowi AB jest bok FE (spójrzmy na kąty przy wierzchołkach: wierzchołek A odpowiada wierzchołkowi F, zaś wierzchołek B odpowiada wierzchołkowi E). Stąd nasz zapis: \triangle \bold{AB}C \sim \triangle \bold{FE}D.
Prawidłowy zapis ułatwia wyprowadzanie proporcji pomiędzy długościami boków trójkątów. Mając prawidłowo zapisane podobieństwo trójkątów: \triangle ABC \sim \triangle FED wiemy, że odpowiednikami wierzchołków A, B, C w \triangle ABC są wierzchołki F, E i D w \triangle FED (dokładnie w tej kolejności). Zatem możemy bez patrzenia na rysunek wypisać proporcje długości ich boków:
\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|FE|}{|ED|}
\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|FE|}{|FD|}
\frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|ED|}{|FD|}
Cechy podobieństwa trójkątów
Aby pokazać, że dwa trójkąty są podobne, należy skorzystać z cech podobieństwa trójkątów. Wyróżniamy trzy cechy podobieństwa trójkątów:
- kąt-kąt
- bok-bok-bok
- bok-kąt-bok
Cecha kąt-kąt (\text{kk}): jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne (z tej cechy podobieństwa trójkątów korzysta się najczęściej). Jeśli zatem jeden i drugi trójkąt mają kąty o miarach 60^{\circ} i 90^{\circ}, to na pewno te trójkąty są podobne:
Cecha bok-bok-bok (\text{bbb}): jeśli długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. Jeśli zatem jeden trójkąt ma boki długości 2, 4 i 5 a drugi: 4, 8 i 10, to skoro \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}, to na pewno te trójkąty są podobne:
Cecha bok-kąt-bok (\text{bkb}): jeśli długości dwóch boków w jednym trójkącie są proporcjonalne do długości dwóch boków w drugim trójkącie i dodatkowo kąty pomiędzy tymi bokami są sobie równe, to trójkąty są podobne. Jeśli zatem jeden trójkąt ma boki długości 6 i 10 a drugi: 9 i 15 (\frac{6}{10} = \frac{9}{15}, czyli długości boków są proporcjonalne) oraz kąty pomiędzy tymi bokami w obu trójkątach są równe i wynoszą 30^{\circ}, to na pewno te trójkąty są podobne:
W rozwiązaniach zadań warto podawać w nawiasie, z jakiej cechy podobieństwa trójkątów korzystamy. Oczywiście wcześniej należy wykazać, że długości odpowiednich boków trójkątów są proporcjonalne czy też odpowiednie kąty tych trójkątów są sobie równe.
Cechę \text{kk} nieraz nazywa się cechą \text{kkk} (kąt-kąt-kąt). Nie ma to znaczenia, chodzi o tę samą cechę. Skoro dwa kąty w trójkątach są sobie równe, to trzeci kąt też mają równy (wynika to z sumy kątów w trójkącie).
Do czego nam to podobieństwo trójkątów potrzebne?
Jak już pokażemy, że dwa trójkąty są podobne, to wiemy, że długości odpowiednich boków w tych trójkątach są proporcjonalne i że kąty w tych trójkątach są sobie równe. Możemy z tego korzystać w rozwiązaniu zadania, na przykład obliczając z proporcji pozostałe długości boków trójkątów.