Zdarzenie przeciwne
Tak jak dla każdego zbioru mamy jego dopełnienie, tak i dla każdego zdarzenia A istnieje jego dopełnienie. Zdarzenie to oznaczamy A' i definiujemy jako:
A' = \Omega\setminus A
gdzie \Omega jest przestrzenią zdarzeń elementarnych.
Zdarzenia A i A' są rozłączne: A\cap A' = \varnothing.
Ponieważ P(A)+P(A') = 1, to:
Wzór ten jest często używany w przypadkach, gdy obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego jest o wiele prostsze niż obliczenie szukanego prawdopodobieństwa zdarzenia.
Przykład. Losujemy cztery razy ze zwracaniem liczbę ze zbioru \{1, 2, 3\}. Oblicz prawdopodobieństwo, że przynajmniej raz wylosujemy liczbę 1.
\Omega – wyniki czterokrotnego losowania ze zwracaniem liczb ze zbioru \{1, 2, 3\}
|\Omega| = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 81\quad (reguła mnożenia: losujemy 4 razy ze zwracaniem, czyli za każdym razem mamy do wyboru jedną z trzech liczb: 1, 2 lub 3)
A – zdarzenie polegające na tym, że przynajmniej raz wylosujemy liczbę 1
Przynajmniej raz oznacza, że liczba 1 zostanie wylosowana co najmniej jeden raz, czyli raz, dwa, trzy lub cztery razy. Zliczenie takich zdarzeń elementarnych nie jest proste. Spójrzmy zatem, czym jest zdarzenie przeciwne do A:
A' – zdarzenie polegające na tym, że liczba 1 nie zostanie wylosowana ani razu
To już zliczyć jest o wiele prościej:
|A'| = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 16\quad (reguła mnożenia: losujemy 4 razy ze zwracaniem, ale nie możemy trafić na liczbę 1, czyli za każdym razem mamy do wyboru jedną z dwóch liczb: 2 lub 3)
Teraz z prawdopodobieństwa klasycznego:
P(A') = \frac{|A'|}{|\Omega|} = \frac{16}{81}
Mając P(A') bez problemu obliczymy szukane P(A):
P(A) = 1-P(A') = 1 - \frac{16}{81} = \frac{81}{81} - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}
Zdarzenie przeciwne oszczędziło nam sporo pracy.