Przykład. Mamy dwa pojemniki. W pierwszym znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

W pojemnikach znajduje się po kilka kul tego samego koloru. Oznacza to, że na przykład zdarzenie elementarne typu (\text{b},\text{c}) (kula biała z pierwszego pojemnika i kula czarna z drugiego pojemnika) można uzyskać aż na 4\cdot 3=12 sposobów, korzystając z reguły mnożenia.

Idealnym rozwiązaniem będzie tu metoda drzewa. Gdy stosujemy tę metodę, nie musimy wypisywać przestrzeni zdarzeń elementarnych \Omega. Robimy tylko rysunek i obliczamy z niego prawdopodobieństwo zdarzenia, które nas interesuje.

Jak rysujemy drzewo?

Mamy dwa pojemniki, z których losujemy po jednej kuli, więc drzewo będzie miało dwa poziomy.

Poziom pierwszy drzewa odpowiada losowaniu pierwszej kuli, czyli kuli z pierwszego pojemnika, w którym jest 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. Mamy wtedy trzy możliwości:

• wylosowanie kuli białej (\text{b}) – mamy 4 kule białe na 9 wszystkich kul, czyli prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe \frac{4}{9}
• wylosowanie kuli czarnej (\text{c}) – mamy 3 kule czarne na 9 wszystkich kul, czyli prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe \frac{3}{9}
• wylosowanie kuli zielonej (\text{z}) – mamy 2 kule zielone na 9 wszystkich kul, czyli prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe \frac{2}{9}

Poziom drugi drzewa odpowiada losowaniu drugiej kuli, czyli kuli z drugiego pojemnika, w którym jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Mamy wtedy trzy możliwości:

• wylosowanie kuli białej (\text{b}) – mamy 2 kule białe na 6 wszystkich kul, czyli prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe \frac{2}{6}
• wylosowanie kuli czarnej (\text{c}) – mamy 3 kule czarne na 6 wszystkich kul, czyli prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe \frac{3}{6}
• wylosowanie kuli zielonej (\text{z}) – mamy 1 kulę zieloną na 6 wszystkich kul, czyli prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe \frac{1}{6}

Niech:

A – zdarzenie polegające na wylosowaniu obu kul tego samego koloru

Zaznaczmy na drzewie te ścieżki, które odpowiadają zdarzeniu A, czyli zdarzeniom elementarnym typu: (\text{b},\text{b}), (\text{c},\text{c}) lub (\text{z},\text{z}):

Aby obliczyć P(A) wystarczy pomnożyć prawdopodobieństwa w ramach poszczególnych ścieżek zaznaczonych na drzewie, a otrzymane wyniki dodać do siebie:

P(A)=\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{6}+\frac{3}{9}\cdot\frac{3}{6}+\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{6}=\frac{4\cdot 2}{9\cdot 6}+\frac{3\cdot 3}{9\cdot 6}+\frac{2\cdot 1}{9\cdot 6}=\frac{8}{54}+\frac{9}{54}+\frac{2}{54}=\frac{8+9+2}{54}=\frac{19}{54}

Jak widać, nie było sensu skracać cząstkowych prawdopodobieństw, które otrzymaliśmy na gałęziach drzewa. Dzięki temu, przy liczeniu P(A) otrzymaliśmy od razu wspólny mianownik przy ułamkach, które musieliśmy zsumować. Oczywiście ostateczny wynik (o ile można) powinniśmy skrócić.